PROBLEMAS CON DIAGRAMAS DE VENN

Los diagramas de Venn tienen el nombre de su creador, John Venn, matemático y filósofo británico.

Los diagramas de Venn son ilustraciones usadas en la rama de la Matemática y Lógica de clases conocida como teoría de conjuntos. Estos diagramas se usan para mostrar gráficamente la agrupación de cosas elementos en conjuntos, representando cada conjunto mediante un círculo o un óvalo. La posición relativa en el plano de tales círculos muestra la relación entre los conjuntos. Por ejemplo, si los círculos de los conjuntos A y B se solapan, se muestra un área común a ambos conjuntos que contiene todos los elementos contenidos a la vez en A y en B. Si el círculo del conjunto A aparece dentro del círculo de otro B, es que todos los elementos de A también están contenidos en B.

Diagrama de Venn mostrando la intersección de dos conjuntos.

Aquí un vídeo que nos ayuda a entender mejor cómo solucionar un problema de matemáticas usando los diagramas de Venn.

PROBLEMAS

1. En el diagrama que colocamos a continuación, se han volcado los datos obtenidos en una encuesta, realizada a personas, donde se les preguntó si tomaban té o café. Los números que aparecen se refieren a las cantidades de personas que respondieron a la pregunta en las diversas formas posibles: solamente té, té y café, ninguna de las dos bebidas, etc.

         En base a estos datos responderemos a las siguientes preguntas:

1     1.       ¿Cuántas personas tomaban té?

2. ¿Cuántas personas tomaban café?
3. ¿Cuántas personas tomaban té y café?
4. ¿Cuántas personas no tomaban ninguna de las dos bebidas?
5. ¿Cuántas personas no tomaban té?
6. ¿Cuántas personas no tomaban café?
7. ¿Cuántas personas tomaban por lo menos una de esas dos bebidas?
8. ¿Cuántas personas tomaban sólo una de esas dos bebidas?
9. ¿Cuántas personas tomaban sólo café?
10. ¿Cuántas personas tomaban alguna de esas bebidas? 

Respuestas: 6, 9, 4, 1, 6, 3, 11, 7, 5,11.

2.  Durante el mes de abril, una empresa ha fabricado diariamente productos del tipo A o del tipo B (o ambos), excepto 4 domingos durante los cuales no ha fabricado nada. Sabiendo que 15 días del mes ha fabricado A, y 20 días ha fabricado B, a) ¿cuántos días del mes ha fabricado ambos productos? b) ¿cuántos días del mes ha fabricado sólo productos del tipo A? c) ¿cuántos días del mes ha fabricado sólo productos del tipo B?

Explicación:

El dato de los 4 domingos puede volcarse directamente en el diagrama. Obviamente existieron días en que se fabricaron ambos productos, pues de lo contrario abril tendría 39 días. Luego, dado que abril sólo tiene 30 días debieron haber 9 días en que se fabricaron ambos productos. Por diferencia de este número con 15 y con 20 se obtuvieron 6 y 11 respectivamente. 

Respuestas: a) 9 días; b) 6 días; c) 11 días.

3. Un grupo de jóvenes fue entrevistado acerca de sus preferencias por ciertos medios de transporte (bicicleta, motocicleta y automóvil). Los datos de la encuesta fueron los siguientes:

 I) Motocicleta solamente: 5

II) Motocicleta: 3

III) No gustan del automóvil: 9

IV) Motocicleta y bicicleta, pero no automóvil:3

V) Motocicleta y automóvil pero no bicicleta: 20

VI) No gustan de la bicicleta: 72

VII) Ninguna de las tres cosas: 1

VIII)No gustan de la motocicleta: 61

1. ¿Cuál fue el número de personas entrevistadas?
2. ¿A cuántos le gustaba la bicicleta solamente?
3. ¿A cuántos le gustaba el automóvil solamente?
4. ¿A cuántos le gustaban las tres cosas?
5. ¿A cuántos le gustaba la bicicleta y el automóvil pero no la motocicleta? 

Respuestas: 99 personas, Ninguna, 46 personas, 10 personas, 14 personas.

4) Sobre un grupo de 45 alumnos se sabe que:

16 alumnos leen novelas.

18 alumnos leen ciencia ficción.

17 alumnos leen cuentos.

3 alumnos leen novelas, ciencia ficción y cuentos.

1 alumno lee sólo cuentos y ciencia ficción.

8 alumnos leen sólo cuentos.

4 alumnos leen sólo novelas y ciencia ficción.

¿Cuántos alumnos leen sólo ciencia ficción? Rta. 10 alumnos.

¿Cuántos alumnos no leen ni novelas, ni cuentos ni ciencia ficción? Rta. 10 alumnos

Respuestas: 10 personas, 10 personas.

5. Una encuesta sobre 500 niños internados en un hogar reveló los siguientes datos:

308 eran menores de diez años.

5 eran huérfanos de padre y madre.

22 eran huérfanos de padre

180 no eran menores de 10 años, ni eran huérfanos de madre o padre.

3 eran menores de diez años, huérfanos de madre y padre.

9 eran menores de diez años, huérfanos sólo de padre.

13 eran huérfanos sólo de madre.

1. ¿Cuántos niños eran huérfanos de madre?
2. ¿Cuántos niños menores de diez años eran huérfanos de madre? 

Respuestas: 18 niños, 8 niños.